刚刚，GPT-6 Astra联手非职业数学家，证明57年“摆圆” 难题

AI如今在数学证明领域开启了全面攻势。

就在今天，一位数学爱好者借助GPT-6 Astra，将一个57年未曾解决的数学难题向前推进了一大步。

问题表面上并不复杂：给定N个半径为1的圆盘，如何将它们放入一个大圆中，使得大圆的半径尽可能小？

实际上，数学家早在1969年就提出了一个优雅的排列方案，但57年来，始终无人能严格证明它是最优解。

这次，数学爱好者nor借助GPT-6 Astra，一口气严格证明了15、16、17、18和20这5种情况，即N≤20的剩余情况。此前，仅有N≤14和N=19的情况被证实。

值得注意的是，N=20并非AI能力的上限，只是nor选择暂时止步。

半个世纪的证明瓶颈

让我们用更数学的语言重新描述这个问题。

假设有N个半径为1的圆盘和一个半径为R的大圆。所有小圆盘必须完全位于大圆内部，可以与大圆边界相切，但不能超出；任意两个小圆盘不能重叠，但允许相切；小圆盘可以任意移动和排列。

问题是：对于给定的正整数N，大圆的最小半径R是多少？

这看似是一道普通的奥数题，但难点在于如何严格证明某种排列已达到极限，无法被其他方式超越。

1968年，美国数学家葛立恒证明了N≤7的情况。1969年，研究者Udo Pirl将证明推进到10个圆盘，并研究了11至19个圆盘的排列。然而，直到2003年左右，N≤14和N=19的情况才被严格证明。

nor是一位长期研究数学、机器学习和优化算法的技术作者，曾多次参与AI辅助数学研究。他十多年前就关注了这个问题，但十几年来进展缓慢。

于是，他将问题交给了GPT-6 Astra。nor循序渐进：先让模型处理N=15的情况，成功后，再将相同方法推广到16、17、18和20，GPT-6 Astra均成功给出了证明。

不过，证明过程一如既往地晦涩难懂。

简单来说，GPT-6 Astra的核心思路是：不再直接寻找最优解，而是通过几何约束，将无限种可能的排列缩减为有限情况，再用计算机逐一排除，最终证明经典排列已是最优。

证明分为五步：

将靠外的圆盘推向边界，在满足特定条件时将其向外移动而不引起重叠，从而将圆盘分为边界组和内部组。
利用角度关系排除大量排列：圆盘不能重叠，必须保持一定角度间隔，若某种排列所需角度总和超过360°，则直接排除。
让计算机枚举剩余可能：不再搜索每个圆盘的具体坐标，而是检查其到圆心的距离区间和环绕次序。
用几何刚性证明精确最优：前面的搜索只能证明可行排列接近经典排列，接下来利用接触约束，证明这些排列无法发生符合条件的微小变形，从而将“接近”提升为“严格一致”。15个圆盘的情况使用了另一种奇数环论证。
还原原始排列：证明原始排列中至少有一个圆盘接触外圆边界，这意味着无法将所有圆盘塞入半径更小的外圆，从而完成最优性证明。

值得强调的是，nor并非只给出了一轮提示词，GPT-6 Astra就自动完成了所有证明。nor在博客中写道，他作为人类的贡献包括：确定问题可行性、引导模型、与漏洞百出的网页界面斗争、忍受糟糕的文案、修复细微问题、反复推敲阐述、手动验证有效性，以及使用Astra和Opus 5.5重新检查所有内容。

额外发现

有趣的是，nor发布结果后，发现有不少同道中人也正在用AI研究同一问题。

有网友表示，AI的突破让数学变得更容易理解，“我都不知道数学领域能有这么浓厚的探索氛围”。

对数学爱好者而言，这或许正是数学2.0时代的新气象。

本文来自微信公众号“量子位”，作者：关注前沿科技，36氪经授权发布。在南宫体育官网的报道中，这一突破展示了AI与人类协作的潜力。